Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali sorgono molti problemi in fisical'ingegneriae le altre scienze. I seguenti esempi mostrano come risolvere equazioni differenziali in alcuni casi semplici quando non esiste una soluzione esatta.

Equazioni in forma sono chiamati separabili e risolti e quindi. Prima di dividere perbisogna controllare se ci sono stazionari soluzioni chiamato anche equilibrio soddisfacenti. Un separabile lineare equazione differenziale ordinaria del primo ordine deve essere omogeneo e ha la forma generale.

Poi, elevamento a potenzaotteniamo. La soluzione sopra assume il vero caso. Primo ordine ODE non lineari omogenee ordinarie equazioni differenziali non sono separabili. Essi possono essere risolti dal seguente approccio, noto come fattore integrante metodo. Consideriamo primo ordine ODE lineari della forma generale:. Il metodo per risolvere questa equazione si basa su uno speciale fattore di integrazione, u :. Utilizzando la regola del prodotto in senso inverso, si ottiene:.

Vedere una soluzione per WolframAlpha. Vedere una soluzione da Wolfram Alpha. Si tratta di un un'equazione di secondo gradoche possiamo risolvere. La trama di spostamento contro il tempo sarebbe simile a questa:. Source Authors. Previous article Next article. Vedere anche: separabile equazione differenziale alle derivate parziali.Equazioni differenziali ordinarie Sommario : 1.

Variabili reali. Variabili complesse. Nei casi in cui le soluzioni non erano disponibili 'in forma chiusa', ossia come polinomi nelle funzioni elementari, si cercava di determinarle tramite serie di potenze. Un'equazione differenziale ordinaria che si presenta in fenomeni diversi per es. Intorno al questa classe includeva le funzioni polinomiali in una sola variabilealcune semplici funzioni algebriche e le funzioni logaritmiche, esponenziali e trigonometriche.

Analogamente, l'equazione del calore in coordinate polari sferiche conduce all'equazione differenziale ordinaria di Legendre di seguito riportata: Formula 2 L'equazione di Legendre venne presto inclusa in una famiglia di equazioni differenziali conosciute come 'equazioni ipergeometriche' e costituisce un momento importante nella storia delle equazioni differenziali ordinarie nel campo complesso.

In effetti, i matematici delle generazioni successive hanno attribuito a Cauchy il merito della prima fondazione adeguata dell'argomento. Cauchy espresse con grande chiarezza il suo punto di vista, secondo il quale una serie di potenze non ha alcun significato se non viene specificato il suo corrispondente raggio di convergenza.

Egli definiva i concetti di soluzione generale, particolare e singolare. In questo contesto, caratterizzava la relazione tra soluzione generale e particolare come relazione di dipendenza da un parametro: pertanto le soluzioni singolari se esistonosi presentano come inviluppo di una famiglia di soluzioni particolari.

Egli chiariva poi la dipendenza della soluzione particolare dalle condizioni iniziali arrivando a riformulare il problema stesso della risoluzione di un'equazione differenziale.

Equazione differenziale

Tale problema consiste nel trovare una soluzione dell'equazione, note determinate condizioni iniziali. Prima di Cauchy, i matematici davano per scontata l'esistenza di una soluzione generale e la loro ricerca era rivolta alla determinazione della sua forma generale; Cauchy richiese, invece, la dimostrazione dell'esistenza della soluzione particolare una volta fissate le condizioni iniziali.

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In accordo con la sua teoria delle serie di potenze, Cauchy riteneva che la soluzione fosse definita soltanto nell'intorno di un dato punto. Per tale motivo questo problema, e altri analoghi nella teoria delle equazioni ordinarie e alle derivate parziali, vengono oggi detti 'problemi di Cauchy'. Il metodo di Cauchy, nel caso da lui considerato, era quello di pervenire a un'approssimazione della soluzione in modo formale, per poi imporre all'equazione differenziale condizioni tali che la soluzione approssimata avesse senso dal punto di vista analitico.

Tuttavia, nel XIX sec. Il problema che nel aveva attirato l'attenzione del ventunenne Liouville riguardava un fenomeno fisico di grande interesse per i suoi contemporanei e quindi in grado di stimolare un giovane brillante: la teoria della propagazione del calore.

Qualche tempo prima Jean-Baptiste-Joseph Fourier aveva stabilito l'equazione differenziale alle derivate parziali che governa il flusso del calore in un corpo omogeneo e individuato i metodi per risolverla.

Egli aveva generalizzato questo approccio al problema di una barra cilindrica immersa in un fluido a temperatura costante, anch'esso risolubile con il metodo della separazione delle variabili.

In questo caso si ottiene un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, ma con un tipo differente di condizioni al contorno. I metodi di Cauchy garantiscono l'esistenza di infinite soluzioni aventi il valore prescritto all'estremo ama queste curve, in corrispondenza dell'altro estremo bnon hanno un valore predeterminato.

Questo significa, in termini matematici, che somme e multipli secondo una costante di soluzioni sono ancora soluzioni e, in termini fisici, che le soluzioni possono essere sovrapposte.

Le equazioni lineari che ne derivano possono allora essere risolte, ma occorre fare attenzione a non introdurre nelle soluzioni, con la suddetta procedura, errori incontrollabili. Sistemi di equazioni differenziali Un insieme di n equazioni differenziali ordinarie e lineari del primo ordine nelle n funzioni y 1,…, y n Formula 10 viene detto sistema lineare di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine.

Tali sistemi si presentano comunemente in matematica. Le funzioni originali sono pertanto combinazioni lineari di queste ultime. Tale caratteristica costituisce un'importante sorgente di idee per l'algebra lineare e per la teoria delle matrici.I diversi casi possibili sono pertanto analizzati singolarmente, e spesso ci si limita a studiare il comportamento qualitativo della soluzione senza che sia possibile ottenerne un'espressione analitica.

A tal fine esistono diverse proceduretra cui il metodo delle variazioni delle costanti e l'utilizzo della trasformata di Laplace. Questa tecnica permette di semplificare notevolmente alcuni tipi di problemi, evitando l'introduzione di complesse forme di risoluzione. Si definiscono:. In forma di vettori colonna si ha:.

equazioni differenziali ordinarie

In forma matriciale:. Il primo afferma che dato il problema ai valori iniziali:. Ad esempio, si consideri:. La soluzione. L'equazione differenziale implicita. Esso esiste se e solo se:. Nel seguito si riportano alcuni importanti casi di equazioni differenziali ordinarie risolvibili esattamente. Integrale particolare y p : in generale si applica il metodo delle variazioni delle costanti, sebbene talvolta sia sufficiente studiare r x.

In fisicala modellizzazione di un sistema richiede spesso la risoluzione di un problema ai valori iniziali. Attraverso le leggi descritte da Newton sulla dinamica dei corpi, si ha che:.

Tali soluzioni sono infinite, e se si rappresentano graficamente si ottiene una figura detta pennello di Peano. Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. URL consultato il Boyce, R. Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica.

Categoria : Equazioni differenziali ordinarie. Menu di navigazione Strumenti personali Accesso non effettuato discussioni contributi registrati entra.

Namespace Voce Discussione. Visite Leggi Modifica Modifica wikitesto Cronologia.In mathematicsan ordinary differential equation ODE is a differential equation containing one or more functions of one independent variable and the derivatives of those functions.

A linear differential equation is a differential equation that is defined by a linear polynomial in the unknown function and its derivatives, that is an equation of the form. Among ordinary differential equations, linear differential equations play a prominent role for several reasons.

Most elementary and special functions that are encountered in physics and applied mathematics are solutions of linear differential equations see Holonomic function.

When physical phenomena are modeled with non-linear equations, they are generally approximated by linear differential equations for an easier solution.

The few non-linear ODEs that can be solved explicitly are generally solved by transforming the equation into an equivalent linear ODE see, for example Riccati equation. Some ODEs can be solved explicitly in terms of known functions and integrals. When that is not possible, the equation for computing the Taylor series of the solutions may be useful. For applied problems, numerical methods for ordinary differential equations can supply an approximation of the solution.

Ordinary differential equations ODEs arise in many contexts of mathematics and social and natural sciences. Mathematical descriptions of change use differentials and derivatives. Various differentials, derivatives, and functions become related via equations, such that a differential equation is a result that describes dynamically changing phenomena, evolution, and variation. Often, quantities are defined as the rate of change of other quantities for example, derivatives of displacement with respect to timeor gradients of quantities, which is how they enter differential equations.

Specific mathematical fields include geometry and analytical mechanics. Scientific fields include much of physics and astronomy celestial mechanicsmeteorology weather modelingchemistry reaction rates[3] biology infectious diseases, genetic variationecology and population modeling population competitioneconomics stock trends, interest rates and the market equilibrium price changes.

Many mathematicians have studied differential equations and contributed to the field, including NewtonLeibnizthe Bernoulli familyRiccatiClairautd'Alembertand Euler. A simple example is Newton's second law of motion — the relationship between the displacement x and the time t of an object under the force Fis given by the differential equation. In general, F is a function of the position x t of the particle at time t.

The unknown function x t appears on both sides of the differential equation, and is indicated in the notation F x t. The notation for differentiation varies depending upon the author and upon which notation is most useful for the task at hand. Given Fa function of xyand derivatives of y. Then an equation of the form. More generally, an implicit ordinary differential equation of order n takes the form: [10].

A number of coupled differential equations form a system of equations. In column vector form:. In matrix form. This distinction is not merely one of terminology; DAEs have fundamentally different characteristics and are generally more involved to solve than nonsingular ODE systems. The behavior of a system of ODEs can be visualized through the use of a phase portrait. A solution that has no extension is called a maximal solution. A solution defined on all of R is called a global solution. A general solution of an n th-order equation is a solution containing n arbitrary independent constants of integration.

A particular solution is derived from the general solution by setting the constants to particular values, often chosen to fulfill set ' initial conditions or boundary conditions '.

The theory of singular solutions of ordinary and partial differential equations was a subject of research from the time of Leibniz, but only since the middle of the nineteenth century has it received special attention. A valuable but little-known work on the subject is that of Houtain Darboux from was a leader in the theory, and in the geometric interpretation of these solutions he opened a field worked by various writers, notably Casorati and Cayley.

To the latter is due the theory of singular solutions of differential equations of the first order as accepted circa The primitive attempt in dealing with differential equations had in view a reduction to quadratures. As it had been the hope of eighteenth-century algebraists to find a method for solving the general equation of the n th degree, so it was the hope of analysts to find a general method for integrating any differential equation.

Gauss showed, however, that complex differential equations require complex numbers. Hence, analysts began to substitute the study of functions, thus opening a new and fertile field.Lo studio delle equazioni differenziali ha inizio in seguito all'introduzione del calcolo infinitesimale da parte di Newton e Leibniz nel diciassettesimo secolo. Nel secondo capitolo del suo testo del Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum[1] Isaac Newton focalizza il discorso su tre tipologie di equazioni differenziali di primo grado, di cui due ordinarie:.

Un importante contributo alle equazioni ordinarie fu dato dai fratelli Jacob e Johann Bernoulli. Nel Jacob Bernoulli si occupa dell'equazione oggi nota come equazione differenziale di Bernoulli : [3]. Un altro importante problema meccanico, quello della corda vibranteviene inoltre incluso negli studi di Jean le Rond d'AlembertLeonhard EulerDaniel Bernoullie Joseph-Louis Lagrange. Per esempio, l'equazione differenziale di primo grado:.

L'equazione ordinaria:. Nel caso l'equazione sia definita su una superficiefornire le condizioni al contorno consiste nel dare il valore della funzione sulla frontiera o della sua derivata rispetto alla direzione normale alla frontiera. Tale assegnazione viene detta condizioni al contorno di Cauchye corrisponde ad imporre sia le condizioni al contorno di Dirichlet i valori che la soluzione assume sul bordo della superficie che le condizioni al contorno di Neumann i valori della derivata della soluzione.

L'equazione si dice lineare se ha la forma:. Le equazioni che non sono lineari sono spesso molto difficili da affrontare, ed in molti casi si cercano metodi per linearizzarle.

equazioni differenziali ordinarie

Una classe di equazioni alle derivate parziali di cui si trovano frequentemente soluzioni analitiche, e che sono ampiamente utilizzate in fisica ed ingegneriasono le equazioni lineari del secondo ordine, ovvero del tipo:. Le equazioni a coefficienti costanti sono iperboliche, ellittiche o paraboliche in tutti i punti del loro dominio, ed in tal caso si parla rispettivamente di "equazione iperbolica", "equazione ellittica" o "equazione parabolica". Ad esempio l' equazione di Eulero-Tricomi :.

Si sta cercando quindi una funzione che sia dimensionalmente sommabile alla sua derivata prima, ovvero la funzione esponenziale la cui derivate sono la funzione stessa per una costante :. Tali soluzioni sono dette "classiche", e si distinguono da soluzioni deboli o generalizzate. Ad esempio le ondeche soddisfanno l' equazione delle ondele funzioni armonicheche soddisfano l' equazione di Laplacee le funzioni specialitra cui le funzioni ipergeometriche che soddisfano l' equazione ipergeometricaoppure le funzioni di Struvele funzioni di Anger e le funzioni di Weber che soddisfano le equazioni di Bessel.

Le soluzioni numeriche sono degli algoritmi che permettono di approssimare la soluzione del sistema di equazioni differenziali che costituiscono il modello matematico del sistema. Altri progetti. Equazione differenziale matematica. Aiutaci a scriverla! Cannon e Sigalia Dostrovsky, The evolution of dynamics, vibration theory from toStudies in the History of Mathematics and Physical Sciences, vol. Wheeler e William P. Herman HJ Lynge and Son. Pierce, Acoustical Soc of America, ; page Discovering the Principles of Mechanicsp.After 2 nights in Reykjavik, we stayed at different hotels every night and they were all great.

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